引っ越しは、図書館の使い方を見直すタイミングです。やることは「借りている本を返す」「住所変更か解約」「新しい市でカードを作る」の3つです。
新しい市の図書館で、新しい住所が確認できる書類を持ってカードを作り直します。前の市のカードは使えなくなるのが普通です。ただし広域利用の対象同士の引っ越しでは、条件が変わるだけの場合もあります。このサイトの市のページで「カードを作れる人」を確認してください。
カードには有効期間がある市が多く（札幌市3年・千葉市5年・神戸市10年など）、更新のときに住所確認をし直します。引っ越し直後に更新時期が重なると二度手間になるため、引っ越しの届けと一緒に済ませるのがおすすめです。
原則として返せません。引っ越し前に返すか、郵送での返却を受け付けるか窓口へ相談してください。
在勤・在学の資格で作ったカードは、勤務先・学校が同じ市にあれば使い続けられる場合が多いです。窓口で確認してください。